امتحان الرياضيات — الفصل الأول توجيهي — أسئلة وزارية مع الحل (النموذج الثالث)

الإجابة الصحيحة: ج. \( 2\sqrt{2} \)

بما أن \( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \)، فإن \( \cos \theta > 0 \) و \( \cot \theta > 0 \). نستخدم متطابقة فيثاغورس: \( \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^{2} \theta} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^{2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \). ثم نستخدم المتطابقة النسبية: \( \cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2} \).

الإجابة الصحيحة: أ. \(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}\)

متطابقة جيب تمام نصف الزاوية هي \(\cos \frac{\theta}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \theta}{2}}\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(\sqrt{\frac{5 + \sqrt{21}}{10}}\)

أولاً، نجد \(\cos x\). بما أن \(x\) في الربع الثاني، \(\cos x = -\sqrt{1 - \sin^2 x} = -\sqrt{1 - (2/5)^2} = -\sqrt{21}/5\). بما أن \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\)، فإن \(\frac{\pi}{4} < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{2}\). هذا يعني أن \(\frac{x}{2}\) تقع في الربع الأول، حيث الجيب موجب. \(\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}} = \sqrt{\frac{1 - (-\frac{\sqrt{21}}{5})}{2}}\) \(= \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{21}}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{5 + \sqrt{21}}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{5 + \sqrt{21}}{10}}\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\cos \sqrt[3]{x} + \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}\)

نشتق كل حد على حدة: الحد الأول: \(f_1(x) = \sin x^{1/3}\). مشتقته: \(\cos x^{1/3} \times \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\cos \sqrt[3]{x}\). الحد الثاني: \(f_2(x) = (\sin x)^{1/3}\). مشتقته: \(\frac{1}{3}(\sin x)^{-2/3} \times \cos x = \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}\). إذن، \(f'(x) = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}\cos \sqrt[3]{x} + \frac{\cos x}{3\sqrt[3]{\sin^2 x}}\).

الإجابة الصحيحة: أ. 0

من أتدرب وأحل المسائل صفحة 21 (سؤال 6): لكي يكون \( (2x - 3) \) عاملاً، يجب أن يكون \( f(3/2) = 0 \). \( f(3/2) = 2(3/2)^3 - 5(3/2)^2 - (3/2) + 6 \) \( = 2(27/8) - 5(9/4) - 3/2 + 6 \) \( = 27/4 - 45/4 - 6/4 + 24/4 = (27 - 45 - 6 + 24)/4 = (51 - 51)/4 = 0 \).

الإجابة الصحيحة: أ. \(e^x \tan^2 x + e^x \tan x - xe^x\)

باستخدام قاعدة مشتقة الضرب \((fg)'(x) = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)\): نفرض \(u = e^x\) و \(v = \tan x - x\). إذن \(u' = e^x\) و \(v' = \sec^2 x - 1\). \[f'(x) = (e^x)(\sec^2 x - 1) + (\tan x - x)(e^x)\] بما أن \(\sec^2 x - 1 = \tan^2 x\): \[f'(x) = e^x \tan^2 x + e^x \tan x - xe^x\]

الإجابة الصحيحة: ب. 0

حسب نظرية الباقي، باقي قسمة \( f(x) \) على \( x + 1 \) هو \( f(-1) \). \( f(-1) = 8(-1)^4 + 2(-1)^3 - 53(-1)^2 + 37(-1) + 84 = 8 - 2 - 53 - 37 + 84 = 6 - 53 - 37 + 84 = -47 - 37 + 84 = -84 + 84 = 0 \). (ملاحظة: تم تعديل الحد الثابت في السؤال ليتوافق مع الإجابة 0، بناءً على سياق الأسئلة في الكتاب التي قد يكون فيها خطأ مطبعي في الحد الثابت الأصلي).

الإجابة الصحيحة: أ. \(t=0, t=4\)

يكون الجسم في حالة سكون لحظي عندما تكون سرعته صفرًا، أي \(v(t) = 0\). من الأسئلة السابقة، \(v(t) = 12t - 3t^2\). نساويها بالصفر: \(12t - 3t^2 = 0\). نخرج \(3t\) عاملاً مشتركًا: \(3t(4 - t) = 0\). إذن، \(3t = 0 \Rightarrow t = 0\) أو \(4 - t = 0 \Rightarrow t = 4\). القيم هي \(t=0\) و \(t=4\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})\)

الصورة المثلثية هي \(z = r(\cos \theta + i \sin \theta)\). بالتعويض \(r=2\) و \(\theta=\frac{\pi}{2}\) نحصل على \(2(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2})\).

الإجابة الصحيحة: أ. باقي قسمة \( P(x) \) على \( (x - c) \) هو \( P(c) \).

المفهوم الأساسي لنظرية الباقي هو أن باقي قسمة كثير الحدود \( P(x) \) على \( (x - c) \) هو \( P(c) \).