امتحان الرياضيات — الفصل الأول توجيهي — أسئلة وزارية مع الحل (النموذج الثاني)

الإجابة الصحيحة: ج. \(\frac{3}{x-3} - \frac{2}{x-2}\)

الخطوة 1: تحليل المقام: \(x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2)\). الخطوة 2: إعداد التجزئة: \(\frac{x}{(x - 3)(x - 2)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}\). الخطوة 3: ضرب الطرفين في \((x - 3)(x - 2)\): \(x = A(x - 2) + B(x - 3)\). الخطوة 4: إيجاد \(A\) و \(B\): بتعويض \(x = 3\): \(3 = A(3 - 2) + B(3 - 3) \Rightarrow A = 3\). بتعويض \(x = 2\): \(2 = A(2 - 2) + B(2 - 3) \Rightarrow 2 = -B \Rightarrow B = -2\). إذن: \(\frac{3}{x - 3} + \frac{-2}{x - 2} = \frac{3}{x - 3} - \frac{2}{x - 2}\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(e + \frac{1}{e}\)

ميل المماس عند النقطة \((e, 1)\) هو \(m_1 = \frac{1}{e}\). ميل العمودي على المماس هو \(m_2 = -\frac{1}{m_1} = -e\). معادلة العمودي على المماس: \(y - 1 = -e(x - e)\) \(y - 1 = -ex + e^2\) \(y = -ex + e^2 + 1\). لإيجاد المقطع \(x\)، نضع \(y = 0\): \(0 = -ex + e^2 + 1\) \(ex = e^2 + 1\) \(x = \frac{e^2 + 1}{e} = e + \frac{1}{e}\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(4\sin \theta \cos^2 \theta - \sin \theta\)

\(\sin 3\theta = \sin(2\theta + \theta) = \sin 2\theta \cos \theta + \cos 2\theta \sin \theta\). باستخدام متطابقات ضعف الزاوية: \(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta\) و \(\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1\). \(\sin 3\theta = (2\sin \theta \cos \theta)\cos \theta + (2\cos^2 \theta - 1)\sin \theta\) \(= 2\sin \theta \cos^2 \theta + 2\cos^2 \theta \sin \theta - \sin \theta\) \(= 4\sin \theta \cos^2 \theta - \sin \theta\).

الإجابة الصحيحة: ب. \( \frac{\sin^2 x + 1 + 2 \cos x + \cos^2 x}{(1 + \cos x) \sin x} \)

نبدأ بالطرف الأيسر: \( \frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} \). نوحد المقامات: \( = \frac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{(1 + \cos x) \sin x} \) نفك مربع مجموع حدين في البسط: \( = \frac{\sin^2 x + (1 + 2 \cos x + \cos^2 x)}{(1 + \cos x) \sin x} \) \( = \frac{\sin^2 x + 1 + 2 \cos x + \cos^2 x}{(1 + \cos x) \sin x} \). هذه هي الخطوة الصحيحة. الخطوات التالية هي: \( = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) + 1 + 2 \cos x}{(1 + \cos x) \sin x} = \frac{1 + 1 + 2 \cos x}{(1 + \cos x) \sin x} = \frac{2 + 2 \cos x}{(1 + \cos x) \sin x} = \frac{2(1 + \cos x)}{(1 + \cos x) \sin x} = \frac{2}{\sin x} = 2 \csc x \).

الإجابة الصحيحة: ب. \(-1\)

\(i^{50} = (i^2)^{25} = (-1)^{25} = -1\).

الإجابة الصحيحة: أ. \( (x + 1)(x - 3)(x + 5) \)

عوامل الحد الثابت (-15) هي \( \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15 \). نختبر \( f(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 13(-1) - 15 = -1 + 3 + 13 - 15 = 0 \). إذن \( (x + 1) \) عامل. نقسم \( f(x) \) على \( (x + 1) \) باستخدام طريقة الجدول: [TABLE:x | x^2 | 2x | -15 | x | x^3 | 2x^2 | -15x | 0 | 1 | x^2 | 2x | -15 ] الناتج هو \( x^2 + 2x - 15 \). نحلل ثلاثي الحدود: \( x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5) \). إذن، التحليل الكامل هو \( (x + 1)(x - 3)(x + 5) \).

الإجابة الصحيحة: ج. \(\frac{1}{x}\)

باستخدام قانون الضرب في اللوغاريتمات: \(f(x) = \ln k + \ln x\). مشتقة \(\ln k\) (ثابت) هي \(0\). مشتقة \(\ln x\) هي \(\frac{1}{x}\). إذن \(f'(x) = 0 + \frac{1}{x} = \frac{1}{x}\).

الإجابة الصحيحة: ب. \(\frac{-54.4b^{-0.6}}{(1 + 4b^{0.4})^2}\)

نستخدم قاعدة مشتقة القسمة: إذا كان \(A(b) = \frac{u}{v}\)، فإن \(A'(b) = \frac{v u' - u v'}{v^2}\). هنا \(u = 40 + 24b^{0.4}\) و \(v = 1 + 4b^{0.4}\). \(u' = 24 \times 0.4 b^{0.4-1} = 9.6b^{-0.6}\) \(v' = 4 \times 0.4 b^{0.4-1} = 1.6b^{-0.6}\) \(A'(b) = \frac{(1 + 4b^{0.4})(9.6b^{-0.6}) - (40 + 24b^{0.4})(1.6b^{-0.6})}{(1 + 4b^{0.4})^2}\) \( = \frac{9.6b^{-0.6} + 38.4b^{-0.2} - 64b^{-0.6} - 38.4b^{-0.2}}{(1 + 4b^{0.4})^2}\) \( = \frac{(9.6 - 64)b^{-0.6} + (38.4 - 38.4)b^{-0.2}}{(1 + 4b^{0.4})^2}\) \( = \frac{-54.4b^{-0.6}}{(1 + 4b^{0.4})^2}\)

الإجابة الصحيحة: د. \(-\frac{3\pi}{4}\)

العدد \(z = -2 - 2i\) يقع في الربع الثالث. الزاوية المرجعية هي \(\tan^{-1}(\frac{2}{2}) = \frac{\pi}{4}\). السعة في الربع الثالث هي \(-\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{3\pi}{4}\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(-\frac{3}{x} + 4x^3\)

أولاً، نبسط الاقتران: \(f(x) = \ln(x^{-3}) + x^4 = -3 \ln x + x^4\). ثم نشتق: \(f'(x) = -3 \times \frac{1}{x} + 4x^3 = -\frac{3}{x} + 4x^3\).