امتحان الرياضيات — الفصل الأول توجيهي — أسئلة وزارية مع الحل (النموذج الأول)

الإجابة الصحيحة: أ. \(4x + y - 11 = 0\)

المعادلة تعني \(|z + 6 - i| = |z - 10 - 5i|\). \((x + 6)^2 + (y - 1)^2 = (x - 10)^2 + (y - 5)^2 \Rightarrow x^2 + 12x + 36 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 20x + 100 + y^2 - 10y + 25 \Rightarrow 32x + 8y - 88 = 0 \Rightarrow 4x + y - 11 = 0\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\)

بما أن \(\cos x = \frac{1}{2}\) موجب، فإن الحلول تقع في الربع الأول والرابع. الزاوية المرجعية هي \(\frac{\pi}{3}\). في الربع الأول: \(x = \frac{\pi}{3}\). في الربع الرابع: \(x = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\). لإيجاد جميع الحلول، نضيف مضاعفات \(2\pi\) الصحيحة: \(x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) و \(x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\)، حيث \(k\) عدد صحيح.

الإجابة الصحيحة: ب. \(-\frac{x}{y}\)

باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى \(x\): \(\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(4)\) \(2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0\) \(2y \frac{dy}{dx} = -2x\) \(\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{2y} = -\frac{x}{y}\)

الإجابة الصحيحة: ب. \(-\sin^3 x\)

\(\sin x \cos^{2} x - \sin x = \sin x (\cos^{2} x - 1)\). نعلم أن \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)، إذن \(\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x\). بالتعويض: \(\sin x (-\sin^2 x) = -\sin^3 x\).

الإجابة الصحيحة: ب. \(\frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}}\)

أولاً، نكتب الاقتران في صورة أسية: \(f(x) = (x^2 - 1)^{2/3}\). باستخدام قاعدة سلسلة القوة \(\frac{d}{dx}(u^n) = nu^{n-1} \times \frac{du}{dx}\)، حيث \(u = x^2 - 1\) و \(n = 2/3\): \(f'(x) = \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{(2/3 - 1)} \times \frac{d}{dx}(x^2 - 1)\) \(f'(x) = \frac{2}{3}(x^2 - 1)^{-1/3} \times 2x\) \(f'(x) = \frac{4x}{3(x^2 - 1)^{1/3}} = \frac{4x}{3\sqrt[3]{x^2 - 1}}\).

الإجابة الصحيحة: ب. \(24\)

باستخدام قاعدة السلسلة: \(A'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). لإيجاد \(A'(5)\)، نعوض \(x=5\): \(A'(5) = f'(g(5)) \cdot g'(5)\). نعلم أن \(g(5) = -2\) و \(g'(5) = 6\). إذن، \(A'(5) = f'(-2) \cdot 6\). ونعلم أن \(f'(-2) = 4\). إذن، \(A'(5) = 4 \cdot 6 = 24\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(\frac{2y + 3^x \ln 3}{1 - 2x}\)

باشتقاق طرفي المعادلة بالنسبة إلى \(x\): \(\frac{d}{dx}(3^x) = \frac{d}{dx}(y) - \frac{d}{dx}(2xy)\) \(3^x \ln 3 = \frac{dy}{dx} - (2x \frac{dy}{dx} + 2y \cdot 1)\) \(3^x \ln 3 = \frac{dy}{dx} - 2x \frac{dy}{dx} - 2y\) بإعادة ترتيب الحدود: \(3^x \ln 3 + 2y = \frac{dy}{dx} - 2x \frac{dy}{dx}\) بإخراج \(\frac{dy}{dx}\) عاملًا مشتركًا: \(2y + 3^x \ln 3 = \frac{dy}{dx} (1 - 2x)\) \(\frac{dy}{dx} = \frac{2y + 3^x \ln 3}{1 - 2x}\)

الإجابة الصحيحة: أ. \((3, 0)\) و \((0, 2)\)

نكتب المعادلة بالصيغة \(|z - (a + ib)| = |z - (c + id)|\). تصبح \(|z - (3 + 0i)| = |z - (0 + 2i)|\). إذن، النقطتان هما \((3, 0)\) و \((0, 2)\).

الإجابة الصحيحة: ب. إجراء القسمة الطويلة للبسط على المقام.

إذا كانت درجة البسط مساوية لدرجة المقام أو أكبر منها، فيجب أولاً تجهيز المقدار النسبي باستعمال القسمة الطويلة، وذلك بقسمة البسط على المقام.

الإجابة الصحيحة: ب. \(-\frac{7}{8} + \frac{7}{8}i\)

نضرب البسط والمقام في مرافق المقام: \[ \frac{7i}{4 - 4i} = \frac{7i}{4 - 4i} \times \frac{4 + 4i}{4 + 4i} \] \[ = \frac{7i(4 + 4i)}{4^2 + (-4)^2} \] \[ = \frac{28i + 28i^2}{16 + 16} \] \[ = \frac{28i - 28}{32} = \frac{-28 + 28i}{32} = -\frac{28}{32} + \frac{28}{32}i = -\frac{7}{8} + \frac{7}{8}i \]