امتحان الرياضيات — الفصل الثاني توجيهي — أسئلة وزارية مع الحل (النموذج الثالث)

الإجابة الصحيحة: أ. \(-\frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{10}\cos 5x + C\)

نستخدم متطابقة تحويل الضرب إلى جمع: \(\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A-B) + \sin(A+B)]\). هنا \(A=3x, B=2x\). \(\int \sin 3x \cos 2x dx = \int \frac{1}{2}[\sin(3x-2x) + \sin(3x+2x)] dx\) \(= \int \frac{1}{2}[\sin x + \sin 5x] dx\) \(= \frac{1}{2} \left[ -\cos x - \frac{1}{5}\cos 5x \right] + C\) \(= -\frac{1}{2}\cos x - \frac{1}{10}\cos 5x + C\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(\frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C\)

بافتراض \(u = \ln x\) و \(dv = x^2 \, dx\)، فإن \(du = \frac{1}{x} \, dx\) و \(v = \frac{x^3}{3}\). \(\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx\) \(= \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^2}{3} \, dx\) \(= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C\) \(= \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C\)

الإجابة الصحيحة: ب. استعمال متغير جديد لتبسيط المكامل.

الفكرة الأساسية للتكامل بالتعويض هي استعمال متغير جديد (مثل \(u\)) لتبسيط المكامل وجعله أسهل للتكامل، خاصة في حالات عدم وجود قاعدة مباشرة لتكامل الضرب أو القسمة.

الإجابة الصحيحة: ج. \(M\)

يُستعمل الرمز \(M\) للدلالة على منتصف القطعة المستقيمة؛ وهو الحرف الأول من الكلمة الإنجليزية (midpoint).

الإجابة الصحيحة: أ. 0

ناتج الضرب القياسي هو: \(\vec{v} \cdot \vec{w} = (5)(4) + (4)(3) + (8)(-4)\) \(= 20 + 12 - 32\) \(= 32 - 32 = 0\)

الإجابة الصحيحة: أ. \[-3 \ln |5 - \frac{x}{3}| + C\]

هذا التكامل من النوع \(\int \frac{1}{ax+b} dx = \frac{1}{a} \ln |ax+b| + C\). هنا \(a = -\frac{1}{3}\) و \(b = 5\). \(\int \frac{1}{5 - \frac{x}{3}} dx = \frac{1}{-1/3} \ln |5 - \frac{x}{3}| + C = -3 \ln |5 - \frac{x}{3}| + C\).

الإجابة الصحيحة: د. 0

\(\vec{u} \cdot \vec{v} = (-5)(4) + (9)(6) + (17)(-2) = -20 + 54 - 34 = 0\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(-x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C\)

| اشتقاق \(f(x)\) | إشارة | تكامل \(g(x)\) | | :--- | :--- | :--- | | \(x^3\) | (+) | \(\sin x\) | | \(3x^2\) | (-) | \(-\cos x\) | | \(6x\) | (+) | \(-\sin x\) | | \(6\) | (-) | \(\cos x\) | | \(0\) | (+) | \(\sin x\) | الناتج هو: \((x^3)(-\cos x) - (3x^2)(-\sin x) + (6x)(\cos x) - (6)(\sin x) + C\) \(= -x^3 \cos x + 3x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C\).

الإجابة الصحيحة: د. 0.6368

من الجدول، عند \(z = 0.3\) في العمود الأول و \(0.05\) في الصف الأول، القيمة المقابلة هي 0.6368.

الإجابة الصحيحة: ب. \(-\frac{1}{25} \cos^5 5x + C\)

نفرض \(u = \cos 5x\). إذن \(\frac{du}{dx} = -5 \sin 5x\)، وبالتالي \(dx = \frac{du}{-5 \sin 5x}\). التكامل يصبح: \(\int u^4 \sin 5x \frac{du}{-5 \sin 5x} = -\frac{1}{5} \int u^4 du\). تكامل \(u^4\) هو \(\frac{1}{5} u^5 + C\). بالتعويض \(u = \cos 5x\)، نحصل على \(-\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} \cos^5 5x + C = -\frac{1}{25} \cos^5 5x + C\).