امتحان الرياضيات — الفصل الثاني توجيهي — أسئلة وزارية مع الحل (النموذج الثاني)

الإجابة الصحيحة: أ. \(7\hat{i} - 8\hat{j} + 7\hat{k}\)

\(2\vec{u} = 2(3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = 6\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}\). \(2\vec{u} - \vec{v} = (6\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) - (-\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})\) \(= (6 - (-1))\hat{i} + (-4 - 4)\hat{j} + (2 - (-5))\hat{k}\) \(= 7\hat{i} - 8\hat{j} + 7\hat{k}\).

الإجابة الصحيحة: ج. \(\frac{dy}{dx} = 5x - 2\)

المعادلة التفاضلية هي معادلة جبرية تحوي مشتقة أو أكثر لاقتران ما. الخيار C هو الوحيد الذي يحتوي على مشتقة (\(\frac{dy}{dx}\)).

الإجابة الصحيحة: ج. \(\langle x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1 \rangle\)

يُمكن كتابة المتجه بالصورة الإحداثية عن طريق طرح إحداثيات نقطة البداية من إحداثيات نقطة النهاية.

الإجابة الصحيحة: أ. \(\sqrt{76}\)

الطول \( = \sqrt{(5-3)^2 + (4-(-2))^2 + (2-8)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 36 + 36} = \sqrt{76}\).

الإجابة الصحيحة: ج. إيجاد تكاملات باستعمال طريقة الأجزاء.

الفكرة الأساسية للدرس هي إيجاد تكاملات باستعمال طريقة الأجزاء، وهي طريقة تُستخدم عندما يكون المُكامل ناتج ضرب اقترانين لا يمكن تكاملهما مباشرة بطرق أخرى.

الإجابة الصحيحة: أ. \(-\frac{1}{y} = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} - \frac{3}{4}\)

نفصل المتغيرات: \(\frac{dy}{y^2} = xe^{2x} dx\) نكامل الطرفين: \(\int y^{-2} dy = \int xe^{2x} dx\) \(-y^{-1} = \int xe^{2x} dx\) نستخدم التكامل بالأجزاء للطرف الأيمن: \(u = x \implies du = dx\)، \(dv = e^{2x} dx \implies v = \frac{1}{2}e^{2x}\). \(\int xe^{2x} dx = x \cdot \frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx\) \(= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}e^{2x} + C_1\) \(= \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C_1\) إذن: \(-\frac{1}{y} = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C\) (هذا هو الحل العام) نستخدم الشرط الأولي \(y(0) = 1\): \(-\frac{1}{1} = \frac{1}{2}(0)e^{0} - \frac{1}{4}e^{0} + C\) \(-1 = 0 - \frac{1}{4} + C\) \(C = -1 + \frac{1}{4} = -\frac{3}{4}\) إذن، الحل الخاص هو: \(-\frac{1}{y} = \frac{1}{2}xe^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} - \frac{3}{4}\).

الإجابة الصحيحة: ب. 0.0228

\(z = \frac{191 - 177}{7} = \frac{14}{7} = 2\). \(P(X > 191) = P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2)\). من الجدول، \(P(Z < 2) = 0.9772\). إذن، \(1 - 0.9772 = 0.0228\).

الإجابة الصحيحة: أ. \(2y^2 + \cos y = 2x^4 + C\)

نفصل المتغيرات بالضرب التبادلي: \((4y - \sin y) dy = 8x^3 dx\) نكامل الطرفين: \(\int (4y - \sin y) dy = \int 8x^3 dx\) \(4\frac{y^2}{2} - (-\cos y) = 8\frac{x^4}{4} + C\) \(2y^2 + \cos y = 2x^4 + C\)

الإجابة الصحيحة: ب. \[2\ln|x+1| - \ln|x-2| + C\]

أولاً، نجزئ المقدار النسبي: \(\frac{x-5}{x^2 - x - 2} = \frac{x-5}{(x+1)(x-2)}\) من السؤال السابق، وجدنا أن \(\frac{x-5}{(x+1)(x-2)} = \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-2}\). الآن نكامل: \(\int \left( \frac{2}{x+1} - \frac{1}{x-2} \right) dx = 2\ln|x+1| - \ln|x-2| + C\).

الإجابة الصحيحة: ب. \(74.8^\circ\)

1. \(\vec{u} \cdot \vec{w} = (-3)(4) + (5)(2) + (-4)(-3) = -12 + 10 + 12 = 10\) 2. \(|\vec{u}| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50}\) 3. \(|\vec{w}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 4 + 9} = \sqrt{29}\) 4. \(\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{w}}{|\vec{u}| |\vec{w}|} = \frac{10}{\sqrt{50}\sqrt{29}} = \frac{10}{\sqrt{1450}}\) 5. \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{10}{\sqrt{1450}}\right) \approx 74.8^\circ\).