امتحان الرياضيات — الفصل الثاني توجيهي — أسئلة وزارية مع الحل (النموذج الأول)

الإجابة الصحيحة: ج. \(\frac{1}{5} \sin(5x) + C\)

لتكامل \(\cos(ax+b)\)، نستخدم القاعدة \(\int \cos(ax+b) dx = \frac{1}{a} \sin(ax+b) + C\). هنا \(a=5\)، لذا: \(\int \cos(5x) dx = \frac{1}{5} \sin(5x) + C\).

الإجابة الصحيحة: ب. \(5\)

هذه تجربة ذات حدين حيث \(n=50\) و \(p=0.1\) (احتمال ظهور الأعراض الجانبية). العدد المتوقع للأطفال الذين ستظهر عليهم الأعراض هو \(E(X) = np = 50 \times 0.1 = 5\).

الإجابة الصحيحة: ب. 47.5%

95% من البيانات تقع بين \(\mu - 2\sigma\) و \(\mu + 2\sigma\). بما أن المنحنى متماثل، فإن النصف السفلي (أقل من الوسط الحسابي) يمثل 95%/2 = 47.5%.

الإجابة الصحيحة: د. \(y = e^{\sin x - 1}\)

نفصل المتغيرات: \(\frac{dy}{y} = \cos x dx\) نكامل الطرفين: \(\int \frac{1}{y} dy = \int \cos x dx\) \(\ln|y| = \sin x + C\) (هذا هو الحل العام) نستخدم الشرط الأولي \(y\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\): \(\ln|1| = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + C\) \(0 = 1 + C\) \(C = -1\) إذن، الحل الخاص هو: \(\ln|y| = \sin x - 1\). يمكن كتابة هذا الحل أيضًا على الصورة الأسية: \(y = e^{\sin x - 1}\).

الإجابة الصحيحة: أ. \[x \tan x + \ln|\cos x| + C\]

نفرض \(u = x \Rightarrow du = dx\). نفرض \(dv = \sec^2 x \, dx \Rightarrow v = \tan x\). \(\int x \sec^2 x \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx\) \(= x \tan x - (-\ln|\cos x|) + C\) \(= x \tan x + \ln|\cos x| + C\).

الإجابة الصحيحة: ج. ينسحب أفقيًا إلى اليمين.

زيادة الوسط الحسابي مع ثبات الانحراف المعياري يؤدي إلى انسحاب أفقي للمنحنى الطبيعي.

الإجابة الصحيحة: أ. \(\langle 3, 6, -4 \rangle\)

\(2\vec{a} = \langle 4, 2, -6 \rangle\). \(2\vec{a} + \vec{b} = \langle 4+(-1), 2+4, -6+2 \rangle = \langle 3, 6, -4 \rangle\).

الإجابة الصحيحة: ب. \(3x^2+3\)

من مثال 4 في المحتوى، ناتج القسمة هو \(3x^2+3\).

الإجابة الصحيحة: ب. لا، لأن المحاولات غير مستقلة.

بما أن السحب يتم "من دون إرجاع"، فإن نتيجة سحب كل كرة تؤثر في احتمال سحب الكرات اللاحقة. هذا يعني أن المحاولات غير مستقلة، وهو شرط أساسي للتجربة الاحتمالية الهندسية (وذات الحدين).

الإجابة الصحيحة: أ. \(-2e^{(1-x)/2} + C\)

\(\int \sqrt{e^{1-x}} dx = \int (e^{1-x})^{1/2} dx = \int e^{(1-x)/2} dx\) باستخدام قاعدة \(\int e^{ax+b} dx = \frac{1}{a} e^{ax+b} + C\)، حيث \(a = -1/2\): \(= \frac{1}{-1/2} e^{(1-x)/2} + C = -2e^{(1-x)/2} + C\).