- 1
إذا كان \(X \sim N(7, 0.25)\)، فما قيمة \(P(6 < X < 7.1)\) باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري؟ (استخدم \(P(Z < 0.2) = 0.5793\) و \(P(Z < 2) = 0.9772\))
- أ. 0.4000
- ب. 0.5793
- ج. 0.5565
- د. 0.3985
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ج. 0.5565
الانحراف المعياري \(\sigma = \sqrt{0.25} = 0.5\). نحول قيم \(x\) إلى قيم معيارية \(z\): لـ \(x = 6\): \(z_1 = \frac{6 - 7}{0.5} = \frac{-1}{0.5} = -2\). لـ \(x = 7.1\): \(z_2 = \frac{7.1 - 7}{0.5} = \frac{0.1}{0.5} = 0.2\). إذن، \(P(6 < X < 7.1) = P(-2 < Z < 0.2)\). باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي المعياري: \(P(-2 < Z < 0.2) = P(Z < 0.2) - P(Z < -2)\) \(= P(Z < 0.2) - (1 - P(Z < 2))\) باستعمال الجدول: \(= 0.5793 - (1 - 0.9772)\) \(= 0.5793 - 0.0228 = 0.5565\).
- 2
اختيرت عينة عشوائية بسيطة تضم 1000 طالب من إحدى الجامعات، ثم حُسب تباين معدل ذكائهم. ما هو المجتمع في هذه الدراسة؟
- أ. الطلبة الذين اختيروا عشوائيًا من الجامعة.
- ب. جميع طلبة الجامعة.
- ج. 1000 طالب في الجامعة.
- د. معدل ذكاء الطلبة.
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ب. جميع طلبة الجامعة.
المجتمع هو جميع طلبة الجامعة، حيث أن العينة أُخذت منهم لتمثيلهم.
- 3
وفقًا للقاعدة التجريبية، ما هي النسبة المئوية التقريبية للبيانات التي تقع بين \(\mu - 2\sigma\) و \(\mu + 2\sigma\)؟
- أ. \(68\%\)
- ب. \(95\%\)
- ج. \(99.7\%\)
- د. \(50\%\)
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ب. \(95\%\)
القاعدة التجريبية تنص على أن 95% من البيانات تقريباً تقع بين \(\mu - 2\sigma\) و \(\mu + 2\sigma\).
- 4
في السؤال السابق، ما هو الخطأ المعياري للوسط الحسابي؟ (قرّب لأقرب جزء من مئة)
- أ. 0.57 ساعة
- ب. 3.38 ساعة
- ج. 20.00 ساعة
- د. 450.00 ساعة
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ب. 3.38 ساعة
الخطأ المعياري للوسط الحسابي \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{35}} \approx \frac{20}{5.916} \approx 3.38 \text{ ساعة}\).
- 5
إذا كان \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)، وكانت القيمة المعيارية التي تقابل \(x = 14\) هي \(z = 3.2\)، والقيمة المعيارية التي تقابل \(x = 6\) هي \(z = -1.8\)، فما الوسط الحسابي \(\mu\) للمتغير العشوائي \(X\)؟
- أ. 8.0
- ب. 8.5
- ج. 9.0
- د. 9.5
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ج. 9.0
لدينا معادلتان من صيغة \(z = \frac{x - \mu}{\sigma}\): 1) \(3.2 = \frac{14 - \mu}{\sigma} \implies 3.2\sigma = 14 - \mu\) 2) \(-1.8 = \frac{6 - \mu}{\sigma} \implies -1.8\sigma = 6 - \mu\) نطرح المعادلة الثانية من الأولى: \(3.2\sigma - (-1.8\sigma) = (14 - \mu) - (6 - \mu)\) \(5\sigma = 8 \implies \sigma = \frac{8}{5} = 1.6\) نعوض قيمة \(\sigma\) في المعادلة الأولى: \(3.2(1.6) = 14 - \mu\) \(5.12 = 14 - \mu\) \(\mu = 14 - 5.12 = 8.88\) أقرب قيمة للوسط الحسابي \(\mu\) من الخيارات المعطاة هي 9.0.
- 6
أي من التجارب الآتية تُمثّل تجربة احتمالية هندسية؟
- أ. إلقاء قطعة نقد 5 مرات وتسجيل عدد الصور.
- ب. سحب 3 كرات على التوالي مع الإرجاع من صندوق حتى سحب كرة حمراء أول مرة.
- ج. قياس درجة حرارة الغرفة كل ساعة لمدة يوم كامل.
- د. اختيار 10 طلاب عشوائيًا من الصف.
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ب. سحب 3 كرات على التوالي مع الإرجاع من صندوق حتى سحب كرة حمراء أول مرة.
سحب الكرات مع الإرجاع يجعل المحاولات مستقلة، والتوقف عند أول نجاح (سحب كرة حمراء) يجعلها تجربة هندسية.
- 7
بالاعتماد على الجدول التالي لعدد الساعات الشمسية: **العام** | الربع | عدد الساعات الشمسية | |:------:|:------:| | 2010 | 1 | | 300 | 2010 | | 2 | 640 | | 2010 | 3 | | 460 | 2010 | | 4 | 240 | | 2011 | 1 | | 340 | 2011 | | 2 | 720 | | 2011 | 3 | | 420 | 2011 | | 4 | 320 | | 2012 | 1 | | 300 | 2012 | | 2 | 620 | | 2012 | 3 | | 460 | 2012 | | 4 | 200 | ما هو الوسط المتحرك ذو النقاط الأربع السادس لهذه السلسلة الزمنية؟
- أ. 440
- ب. 445
- ج. 450
- د. 455
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: أ. 440
\(M_6 = \frac{720 + 420 + 320 + 300}{4} = \frac{1760}{4} = 440\).
- 8
بعد إجراء مسح لمشتركي إحدى شركات الاتصالات، تبين أن 30% من المشتركين هم من الإناث. إذا اختير 400 مشترك عشوائيًا لاستطلاع آرائهم حيال الخدمات التي تقدمها الشركة، فما عدد الإناث المتوقع في هذه العينة؟
- أ. 30
- ب. 60
- ج. 120
- د. 150
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ج. 120
هذه مسألة توقع لمتغير عشوائي ذي حدين. \(n = 400\) (عدد المشتركين في العينة) \(p = 0.30\) (احتمال أن يكون المشترك أنثى) \(E(X) = np = 400 \times 0.30 = 120\).
- 9
أي من التجارب الآتية تُعدّ تجربة احتمالية ذات حدين؟
- أ. إلقاء قطعة نقد 80 مرة، ثم تسجيل عدد مرات ظهور الكتابة.
- ب. إطلاق أسهم بشكل متكرر نحو هدف، ثم التوقف عند إصابته أول مرة.
- ج. سحب كرتين على التوالي دون إرجاع من كيس به 5 كرات حمراء و 5 كرات زرقاء.
- د. قياس درجة حرارة الماء كل 5 دقائق لمدة ساعة.
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: أ. إلقاء قطعة نقد 80 مرة، ثم تسجيل عدد مرات ظهور الكتابة.
A) هذه تجربة ذات حدين: عدد محاولات محدد (80)، كل محاولة مستقلة، نتيجتان (كتابة/صورة)، احتمال النجاح ثابت (1/2). B) هذه تجربة هندسية. C) هذه ليست تجربة ذات حدين لأن المحاولات ليست مستقلة (السحب دون إرجاع). D) هذه ليست تجربة احتمالية ذات حدين، بل قياس مستمر.
- 10
إذا كانت \(\sum x_{i} = 20\)، \(\sum y_{i} = 30\)، \(n = 5\)، \(\sum x_{i}^{2} = 100\)، \(\sum y_{i}^{2} = 200\)، \(\sum x_{i}y_{i} = 150\)، فما قيمة \(S_{xy}\)؟
- أ. 10
- ب. 20
- ج. 30
- د. 40
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ج. 30
\[S_{xy} = \sum x_{i}y_{i} - \frac{\sum x_{i} \sum y_{i}}{n} = 150 - \frac{(20)(30)}{5} = 150 - \frac{600}{5} = 150 - 120 = 30\]
- 11
تتبع أطوال أقطار البراغي التي تُنتجها آلة في أحد المصانع توزيعًا طبيعيًا، ووسطه الحسابي \(8.2 \text{ mm}\)، وانحرافه المعياري \(0.3 \text{ mm}\). إذا اختيرت عينة عشوائية مكونة من 25 برغيًا، فأجد احتمال أن يكون الوسط الحسابي لأطوال أقطار البراغي في العينة بين \(8 \text{ mm}\) و \(8.3 \text{ mm}\). (استخدم قيم \(z\) المقربة: \(z_1 \approx -3.33\)، \(z_2 \approx 1.67\)، وقيم الجدول: \(P(Z < -3.33) = 0.0004\)، \(P(Z < 1.67) = 0.9525\))
- أ. 0.9521
- ب. 0.0004
- ج. 0.9525
- د. 0.9529
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: أ. 0.9521
\(\mu = 8.2\)، \(\sigma = 0.3\)، \(n = 25\). \(\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{0.3}{\sqrt{25}} = \frac{0.3}{5} = 0.06\). \(P(8 < \bar{X} < 8.3) = P\left(\frac{8 - 8.2}{0.06} < Z < \frac{8.3 - 8.2}{0.06}\right)\) \(= P(\frac{-0.2}{0.06} < Z < \frac{0.1}{0.06}) = P(-3.33 < Z < 1.67)\). \(= P(Z < 1.67) - P(Z < -3.33)\) \(= 0.9525 - 0.0004 = 0.9521\).
- 12
إذا كان: \(X \sim N(36, 8^2)\)، فإن \(P(24 < X < 56)\) باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري هي:
- أ. 0.9938
- ب. 0.9332
- ج. 0.9270
- د. 0.0668
إظهار الإجابة الصحيحة والشرح
الإجابة الصحيحة: ج. 0.9270
أولاً، نحول قيم \(x\) إلى قيم معيارية \(z\): لـ \(x_1 = 24\): \(z_1 = \frac{24 - 36}{8} = \frac{-12}{8} = -1.5\). لـ \(x_2 = 56\): \(z_2 = \frac{56 - 36}{8} = \frac{20}{8} = 2.5\). إذن، \(P(24 < X < 56) = P(-1.5 < Z < 2.5)\). باستعمال خصائص التوزيع الطبيعي المعياري، \(P(-1.5 < Z < 2.5) = P(Z < 2.5) - P(Z < -1.5)\). ونعلم أن \(P(Z < -1.5) = 1 - P(Z < 1.5)\). باستعمال جدول التوزيع الطبيعي المعياري: \(P(Z < 2.5) = 0.9938\). \(P(Z < 1.5) = 0.9332\). إذن، \(P(Z < -1.5) = 1 - 0.9332 = 0.0668\). \(P(-1.5 < Z < 2.5) = 0.9938 - 0.0668 = 0.9270\).
تابع الباقي في تطبيق فهلوي AI
تابع باقي الأسئلة مع الإجابة والشرح في تطبيق فهلوي AI، مع امتحانات كاملة تُصحَّح تلقائياً.
افتح التطبيق للمتابعةنصائح لحل الامتحان
- 💡 اقرأ السؤال جيداً وحدّد المطلوب قبل النظر للخيارات.
- 💡 استبعد الخيارات الخاطئة بوضوح لتضييق الاحتمالات.
- 💡 راجع شرح كل إجابة بعد الحل لتثبيت المعلومة.
بدك امتحان كامل مصحّح تلقائياً؟
فهلوي AI بيولّدلك امتحانات غير محدودة، بيصحّحها فوراً، وبيتابع نقاط ضعفك.
قدّم امتحانك الآن مجاناً
